Question

18．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，將矩形ABCD繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到矩形GBEF，延長(zhǎng)DA交FG于點(diǎn)H，則GH的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 8-4$\sqrt{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4
• C． 3$\sqrt{3}$-4
• D． 6-3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建直角△AHM，先由旋轉(zhuǎn)得BG的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為30°得∠GBA=30°，利用30°角的三角函數(shù)可得GM和BM的長(zhǎng)，由此得AM和HM的長(zhǎng)，相減可得結(jié)論．

解答 解：如圖，延長(zhǎng)BA交GF于M，
由旋轉(zhuǎn)得：∠GBA=30°，∠G=∠BAD=90°，BG=AB=4，
∴∠BMG=60°，
tan∠30°=$\frac{GM}{BG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{GM}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴GM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4，
Rt△HAM中，∠AHM=30°，
∴HM=2AM=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8，
∴GH=GM-HM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{16\sqrt{3}}{3}$-8）=8-4$\sqrt{3}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)及直角三角形30°的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半及特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．