Question

19．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，點O是AC邊上一點，連接BO，交AD于點F，OE⊥OB交BC于點E．
（1）如圖1，當O為邊AC中點，$\frac{AC}{AB}$=2時，求$\frac{OF}{OE}$的值；
（2）如圖2，當O為邊AC中點，$\frac{AC}{AB}$=n時，求出$\frac{OF}{OE}$的值；
（3）如圖3，當$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{m}$，$\frac{AC}{AB}$=n時，請直接寫出$\frac{OF}{OE}$的值．

Answer 1

分析 （1）先證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．作OH⊥AC，交BC于H，易證：△OEH和△OFA相似，進而證明△ABF∽△HOE，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可得出所求的值；
（2）同（1）的方法得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，代換即可得出結(jié)論；
（3）同（1）的方法得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，代換即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，
∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$
又∵O為AC的中點，OH∥AB．
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
而$\frac{AC}{AB}=2$，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{2}{1}$，
即$\frac{OF}{OE}=2$；
（2）同（1）方法得：$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，
∵又∵O為AC的中點，OH∥AB．
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，
∵$\frac{AC}{AB}$=n，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}AB}$=$\frac{AC}{AB}=n$，
∴$\frac{OF}{OE}$=n．
（3）（2）同（1）方法得：$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，
∵OH∥AB，
∴$\frac{OH}{AB}=\frac{OC}{AC}$，
∵$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{OH}{AB}=\frac{mOA}{AC}$，
∴$\frac{OH}{OA}=m×\frac{AB}{AC}$
∵$\frac{AC}{AB}$=n，
∴$\frac{OH}{OA}=\frac{m}{n}$，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$=$\frac{n}{m}$．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了平行線的性質(zhì)，互余的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，比例的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是得出$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OH}$，難點是用類比的方法作出后面兩問．