Question

13．已知關于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且k為整數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分類討論：當k=0時，方程變形一元一次方程，有一個實數(shù)解；當k≠0時，計算判別式得到△=（3k-1）²，由此得到△≥0，由此判斷當k≠0時，方程有兩個實數(shù)根；
（2）先由求根公式得到kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解為x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，則二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為-$\frac{1}{k}$和-3，然后根據(jù)整數(shù)的整除性可確定整數(shù)k的值．

解答 （1）證明：當k=0時，方程變形為x+3=0，解得x=-3；
當k≠0時，△=（3k+1）²-4•k•3=（3k-1）²，
∵（3k-1）²≥0，
∴△≥0，
∴當k≠0時，方程有實數(shù)根，
∴無論k取任何實數(shù)時，方程總有實數(shù)根；

（2）解：kx²+（3k+1）x+3=0（k≠0）
x=$\frac{-（3k+1）±（3k-1）}{2k}$，
x₁=-$\frac{1}{k}$，x₂=-3，
所以二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為-$\frac{1}{k}$和-3，
根據(jù)題意得-$\frac{1}{k}$為整數(shù)，
所以整數(shù)k為±1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了拋物線與x軸的交點．