Question

3．如圖：△ABC是等邊三角形，以BD為邊向外作等邊三角形△DBC，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上且AE=DF，連接BF，DE，兩直線相交于點G，連接CG，下列結(jié)論：①∠BGE=60°，②CG平分∠BGD，③CG=DG+BG．其中正確的是（　　）

• A． 僅有①③
• B． 僅有①②
• C． 僅有②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由三角形ABD為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BD，∠A=∠BDF=60°，再由AE=DF，利用SAS得到三角形AED與三角形DFB全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠ADE=∠DBF，利用三角形內(nèi)角和定理及等邊三角形性質(zhì)得到∠BGE=60°；延長FB到點M，使BM=DG，連接CM．構(gòu)建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性質(zhì)來證明CG=DG+BG，且得到GC為角平分線．

解答 解：∵△ABD為等邊三角形，
∴AD=BD，∠A=∠BDF=60°，
在△AED和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠A=∠BDF}\\{AD=DB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠GEB=∠A+∠ADE=60°+∠ADE=60°+∠DBF，
∵∠DBF+∠GBE=60°，
∴∠BGE=180°-∠GEB-∠GBE=180°-60°-60°=60°，選項①正確；
延長FB到點M，使BM=DG，連接CM．
由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等邊三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM，
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等邊三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG，選項③正確；
∵∠BGE=60°，
∴∠MGC=∠DGC=60°，即GC平分∠BGD，選項②正確
故選D．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．