Question

12．閱讀下列材料，解決問題：
在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時，有時由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時往往難度比較大，這時我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（或整式）與一個真分?jǐn)?shù)的和（或差）的形式，通過對簡單式的分析來解決問題，我們稱為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效，現(xiàn)舉例說明．
材料1：將分式$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$=$\frac{x（x+1）-2（x+1）+5}{x+1}$=$\frac{x（x+1）}{x+1}$-$\frac{2（x+1）}{x+1}$+$\frac{5}{x+1}$=x-2+$\frac{5}{x+1}$
這樣，分式$\frac{{x}^{2}-x+3}{x+1}$就拆分成一個整式x-2與一個分式$\frac{5}{x+1}$的和的形式．
材料2：已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數(shù)100x+10y+x，且1≤x≤4，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
解：∵$\frac{101x+10y}{11}$=$\frac{99x+11y+2x-y}{11}$=9x+y+$\frac{2x-y}{11}$，
又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴-7≤2x-y≤8，還要使$\frac{2x-y}{11}$為整數(shù)，
∴2x-y=0，即y=2x．
（1）將分式$\frac{{x}^{2}+6x-3}{x-1}$拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為x+7+$\frac{4}{x-1}$；
（2）已知整數(shù)x使分式$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x=2或4或-10或16；
（3）已知一個六位整數(shù)$\overline{20xy17}$能被33整除，求滿足條件的x，y的值．

Answer 1

分析 （1）將分子x²+6x-3化為（x-1）（x+7）+4，依據(jù)題意可得；
（2）將分子2x²+5x-20化為（x-3）（2x+11）+13，依題意可得；
（3）由題意得出$\frac{200017+1000x+100y}{33}$=6061+30x+3y+$\frac{10x+y+4}{33}$，即可知10x+y+4為33的倍數(shù)，據(jù)此可得．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}+6x-3}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-x+7x-7+4}{x-1}$
=$\frac{x（x-1）+7（x-1）+4}{x-1}$
=$\frac{（x-1）（x+7）+4}{x-1}$
=x+7+$\frac{4}{x-1}$，
故答案為：x+7+$\frac{4}{x-1}$；

（2）$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$=$\frac{2{x}^{2}-6x+11x-33+13}{x-3}$
=$\frac{2x（x-3）+11（x-3）+13}{x-3}$
=$\frac{（x-3）（2x+11）+13}{x-3}$
=2x+11+$\frac{13}{x-3}$，
∵分式$\frac{2{x}^{2}+5x-20}{x-3}$的值為整數(shù)，
∴$\frac{13}{x-3}$是整數(shù)，
∴x-3=±1或x-3=±13，
解得：x=2或4或-10或16，
故答案為：2或4或-10或16；

（3）$\frac{200017+1000x+100y}{33}$=$\frac{6061×33+4+30x•33+10x+3y•33+y}{33}$
=$\frac{33（6061+30x+3y）+10x+y+4}{33}$
=6061+30x+3y+$\frac{10x+y+4}{33}$，
∵整數(shù)$\overline{20xy17}$能被33整除，
∴$\frac{10x+y+4}{33}$為整數(shù)，即10x+y+4=33k，（k為整數(shù)），
當(dāng)k=1時，x=2、y=9符合題意；
當(dāng)k=2時，x=6、y=2符合題意；
當(dāng)k=3時，x=9、y=5符合題意．

點評 本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式的化簡求值的計算方法．