Question

2．已知梯形ABCD，AD∥BC，AC與BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥AD分別交AB、CD于點(diǎn)E、F．

（1）如圖1，求證：OE=OF；
（2）如圖1，若BC-AD=7，EF-AD=3，求AD的長；
（3）如圖2，聯(lián)結(jié)BF、CE交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作GH∥BC分別交AB、CD于點(diǎn)G、H，求證：$\frac{1}{AD}$+$\frac{2}{BC}$=$\frac{1}{EF}$+$\frac{2}{GH}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD∥BC，EF∥AD可得出△BOE∽△BDA，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DOB，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）可知，$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，$\frac{EO}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，故$\frac{EO}{BC}$+$\frac{EO}{AD}$=1，$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{AD}$=$\frac{1}{EO}$=$\frac{2}{EF}$．根據(jù)BC=AD+7，EF=AD+3，設(shè)AD=x，代入•上式進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)（1）可知$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$①，同理可得$\frac{1}{EF}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{GH}$②，再把兩式相加即可．

解答 解：（1）∵AD∥BC，EF∥AD可得出△AEO∽△ABC，△DOF∽△DOB，
∴$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{OF}{BC}$，
∴OE=OF；

（2）∵由（1）知，$\frac{EO}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$，$\frac{EO}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，
∴$\frac{EO}{BC}$+$\frac{EO}{AD}$=1，
∴$\frac{1}{BC}$+$\frac{1}{AD}$=$\frac{1}{EO}$=$\frac{2}{EF}$．
∵BC=AD+7，EF=AD+3，
設(shè)AD=x，則
$\frac{1}{x+7}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x+2}$，
解得x=21．

（3）∵由（1）知$\frac{1}{AD}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{EF}$①，
同理可得$\frac{1}{EF}$+$\frac{1}{BC}$=$\frac{2}{GH}$②，
∴①-②得$\frac{1}{AD}$+$\frac{2}{BC}$=$\frac{1}{EF}$+$\frac{2}{GH}$．

點(diǎn)評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)等知識，在解答（2）時要注意設(shè)出未知數(shù)，利用方程求解．