Question

20．已知直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=3，OB=4，點(diǎn)P（t，0）是OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC∥AB交y軸于點(diǎn)C，同時(shí)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D
（1）求直線AB的解析式并求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)P在什么位置是，四邊形ACPD的面積最大？最大面積是多少？
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△CPD是否可能是直角三角形？若可能寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線AB的解析式，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得其解析式，再由PC∥AB，可得∠ABO=∠CPO，再利用三角函數(shù)的定義可求得OC，可寫(xiě)出t的坐標(biāo)；
（2）可判定四邊形ACPD為平行四邊形，可用t表示出AC、OP，可表示出其面積，再利用函數(shù)的性質(zhì)可求得t的值及最大面積；
（3）分C和D為直角頂點(diǎn)，分別表示出C、P、D的坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵OA=3，OB=4，
∴A（0，3），B（4，0），代入解析式可得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
∵tan∠ABO=$\frac{3}{4}$，PC∥AB，
∴∠ABO=∠CPO，
∴tan∠CPO=$\frac{CO}{t}$=$\frac{3}{4}$，
∴CO=$\frac{3}{4}$t，
∴C（0，$\frac{3}{4}$t）；
（2）∵AB∥CP，AC∥DP，
∴四邊形ACPD是平行四邊形
∵A（0，3），C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0）
∴AC=3-$\frac{3}{4}$t，OP=t，
∴S_{四邊形ACPD}=AC•OP=（3-$\frac{3}{4}$t）t=-$\frac{3}{4}$（t-2）²+3，
∴當(dāng)CP=2時(shí)，四邊形ACPD的面積最大，它的面積是3；
（3）由題可知P不可能是直角頂點(diǎn)，可分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖1，

則A（0，3），C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0），D（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∴DF=t，CO=$\frac{3}{4}$t，F(xiàn)C=-$\frac{3}{4}$t+3-$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{2}$t+3，OP=t，
∵∠DCF+∠PCO=∠PCO+∠OPC，
∴∠DPF=∠OPC，且∠PFC=∠COP，
∴△CFD～△POC，
∴$\frac{DF}{CO}$=$\frac{FC}{OP}$，即$\frac{t}{\frac{3}{4}t}$=$\frac{-\frac{3}{2}t+3}{t}$，
解得t=$\frac{18}{17}$，則-$\frac{3}{4}$t+3=$\frac{75}{34}$，
∴D（$\frac{18}{17}$，$\frac{75}{34}$）；
②當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，
∵C（0，$\frac{3}{4}$t），P（t，0）
∴D（t，$\frac{3}{4}$t），
又∵D在直線AB上，把點(diǎn)D代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可得$\frac{3}{4}$t=-$\frac{3}{4}$t+3，解得t=2，
∴D（2，$\frac{3}{2}$）；
綜上可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{18}{17}$，$\frac{75}{34}$）或（2，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．在（1）中利用平行得到∠ABO=∠CPO是解題的關(guān)鍵，在（2）中用t分別表示出四邊形ACPD的底和高是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)D的位置是解題的關(guān)鍵．本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．注意分類(lèi)討論思想和方程思想的應(yīng)用．