Question

15．如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與⊙O交于點C，連接BC，AF．
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）試探究線段OF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；
（3）若BC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和線段PE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB，通過證明△PAO和△PBO全等，得到∠PAO=∠PBO=90°，從而證明直線PA為⊙O的切線；
（2）通過證明△OAD和△OPA相似得到；
（3）設(shè)AD=x，在Rt△AOD中，通過勾股定理列方程求出AD，進而求出cos∠ACB的值和線段PE的長．

解答 （1）證明：連接OB，
∵PB是⊙O的切線，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
在△PAO和△PBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠POA=∠POB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直線PA為⊙O的切線．
（2）OF²=OD×OP．  
證明：∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOP=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OD}{OA}=\frac{OA}{OP}$，
即OA²=OD×OP，OF²=OD•OP．
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=12，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=6，
設(shè)AD=x，∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴FD=2x，OA=OF=2x-6，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
得（2x-6）²=x²+6²，
解得x₁=8，x₂=0（不合題意，舍去），
∴AD=8，OA=2x-6=10，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=20，BC=12，
∴cos∠ACB=$\frac{3}{5}$．
∴OA²=OD×OP，
∴6（PE+10）=100，
∴PE=$\frac{20}{3}$．

點評 本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)，相似，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)以及應(yīng)用勾股定理列出方程是解本題的關(guān)鍵．