Question

15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=12，∠BCD=30°，求線段CD長(zhǎng)．

Answer 1

分析 過D作DE⊥AC于E，于是得到DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CDE=∠BCD=30°，設(shè)CD=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，求得AE=12-$\frac{1}{2}$x推出△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，列方程$\frac{12}{12-\frac{1}{2}x}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：過D作DE⊥AC于E，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD=30°，
設(shè)CD=x，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AE=12-$\frac{1}{2}$x，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$，
∴$\frac{12}{12-\frac{1}{2}x}=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$，
解得：x=$\frac{48（3\sqrt{3}-2）}{25}$．
∴CD=$\frac{48（3\sqrt{3}-2）}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．