Question

3．A、B分別為反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$和反比例函數(shù)y=$-\frac{32}{x}$上的點(diǎn)，0A⊥0B．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）若AB∥x軸，求AB的長(zhǎng)；
（3）設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)M，當(dāng)AM：BM=1：2時(shí)，求A點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，如圖1，設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{32}$），證明Rt△AOC∽R(shí)t△OBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得$\frac{\frac{2}{a}}{-b}$=$\frac{a}{-\frac{32}}$=$\frac{OA}{OB}$，則ab=-8，所以可計(jì)算出$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ab}{-32}$=$\frac{1}{4}$，然后在Rt△AOB中，利用正切的定義求解；
（2）如圖2，由AB∥x軸得∠1=∠OAB，利用正切值相等得到$\frac{2}{{a}^{2}}$=4，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由于ab=-8，可求出b=-8$\sqrt{2}$，于是AB=a-b=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥y軸于F，如圖1，證明△AME∽△BMF，利用相似比得$\frac{a}{-b}$=$\frac{1}{2}$，即b=-2a，而ab=-8，所以a•（-2a）=-8，解得a=2，于是可得到A（2，1）．

解答 解：（1）作AC⊥x軸于C，BD⊥x軸于D，如圖1，
設(shè)A（a，$\frac{2}{a}$），B（b，-$\frac{32}$），
∵0A⊥0B，
∴∠AOB=90°，即∠1+∠2=90°，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△OBD，
∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OA}{OB}$，即$\frac{\frac{2}{a}}{-b}$=$\frac{a}{-\frac{32}}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴（ab）²=64，
∴ab=-8，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{ab}{-32}$=$\frac{-8}{-32}$=$\frac{1}{4}$，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=4；
（2）如圖2，∵AB∥x軸，
∴∠1=∠OAB，
而tan∠1=$\frac{AC}{OC}$=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{2}{{a}^{2}}$，tan∠OAB=4，
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$=4，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ab=-8，
∴b=-8$\sqrt{2}$，
∴AB=a-b=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
（3）作AE⊥y軸于E，BF⊥y軸于F，如圖1，
∵AE∥BF，
∴△AME∽△BMF，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{a}{-b}$=$\frac{1}{2}$，
∴b=-2a，
而ab=-8，
∴a•（-2a）=-8，解得a=2，
∴A（2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．本題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建相似三角形，利用相似比找到線段之間的關(guān)系．