Question

8．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A，AB垂直于x軸，垂足為B，并且AB=OB=2．
（1）求k和m的值；
（2）將△ABO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O，請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)A′作直線OA的平行線，交y軸與點(diǎn)C，連接AC，判定四邊形AOA′C的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式，即可求出k和m的值；
（2）容易畫出△ABO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠OB′A′=∠OBA=90°，A′B′=AB=2，OB′=OB=2，∠A′OB′=∠AOB=45°，OA′=OA，即可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）由題意得出△AOB是等腰直角三角形，得出∠AOB=45°，∠A′OB′=∠AOB=45°，證出A′C=AO，得出四邊形AOA'C是平行四邊形，再由∠A′OA′=90°，OA=OA′，即可得出四邊形AOA′C是正方形．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸，垂足為B，并且AB=OB=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=mx的圖象交于點(diǎn)A，
∴2=$\frac{k}{2}$，2=2m       
∴k=4，m=1．
（2）將△ABO繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O，所畫圖形如圖1所示：
則∠OB′A′=∠OBA=90°，A′B′=AB=2，OB′=OB=2，
∠A′OB′=∠AOB=45°，OA′=OA，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-2，2）；
（3）四邊形AOA'C是正方形．理由如下：
如圖2所示：
∵AB⊥x軸，垂足為B，并且AB=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∴∠AOB=45°，
∴∠A′OB′=∠AOB=45°，
∴∠A′OA′=∠COB=90°，
∵A′C∥OA，
∴∠A′CO=∠AOC=45°，
∴∠A′CO=∠A′OC，
∴A′C=A′O，
∴A′C=AO，
∴四邊形AOA'C是平行四邊形，
∵∠A′OA′=90°，
∴四邊形AOA′C是矩形，
又∵OA=OA′，
∴四邊形AOA′C是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的求法、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平行四邊形的判定以及矩形、菱形、正方形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．