Question

9．如圖，弦AB的長為6，線段OF分別平分弦AC、弦AB和$\widehat{AC}$，D、F為交點，BD與OC相交于點E．求OE的長．

Answer 1

分析 連接BC，根據垂徑定理得到OF⊥AC，根據三角形的中位線的性質得到OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，由圓周角定理得到AB是⊙O的直徑，通過△ODE∽△BCE，得到$\frac{OE}{CE}=\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到結論．

解答 解：連接BC，
∵線段OF分別平分弦AC、和$\widehat{AC}$，
∴OF⊥AC，
∵OF分別平分弦AC、弦AB，
∴OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，
∴OC=OB=3，
∵OD∥BC，
∴△ODE∽△BCE，
∴$\frac{OE}{CE}=\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{3}$OC=1．

點評 本題考查了圓周角定理，三角形的中位線的性質，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．