Question

11．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大�。ㄓ煤�α的式子表示）．
（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接AQ，作ME⊥QB，由AAS證明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）PQ=$\sqrt{2}$MB；理由如下：
連接AQ，作ME⊥QB，如圖所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MQE=∠PAC}&{\;}\\{∠ACP=∠QEM}&{\;}\\{AP=QM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∴△MEB是等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$MB，
∴PQ=$\sqrt{2}$MB．
方法二：也可以延長(zhǎng)AC到D，使得CD=CQ．
則易證△ADP≌△QBM．
∴BM=PD=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$QC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PQ，
即PQ=$\sqrt{2}$MB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．