Question

16．已知關(guān)于x的方程x²-（m²+3）x+$\frac{1}{2}$（m²+2）=0
（1）證明：無論m是任何實數(shù)，方程總有兩個正根；
（2）設x₁，x₂為方程的兩根，且滿足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$-x₁x₂=$\frac{17}{2}$，求m值．

Answer 1

分析 （1）設方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，根據(jù)△≥0恒成立，x₁•x₂＞0．x₁+x₂＞0恒成立，即可證明．
（2）由方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可解答

解答 解：（1）設方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，
△=（m²+3）²-4×$\frac{1}{2}$（m²+2）=m⁴+4m²+5=（m²+2）²+1≥0恒成立，
x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（m²+2）＞0恒成立，
x₁+x₂=m²+3＞0恒成立，
∴無論m是任何實數(shù)，方程總有兩個正根；
（2）∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$-x₁x₂=$\frac{17}{2}$，
∴（x₁+x₂）²-3x₁x₂=$\frac{17}{2}$，
∴（m²+3）²-3×$\frac{1}{2}$（m²+2）=$\frac{17}{2}$，
整理得：（2m²-1）（m²+5）=0
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，關(guān)鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．