Question

6．如圖，已知P為正方形ABCD外的一點，PA=1，PB=2，將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點P旋轉(zhuǎn)至點P′，且AP′=3，則∠BP′C的度數(shù)為 （　�。�

• A． 105°
• B． 112.5°
• C． 120°
• D． 135°

Answer 1

分析 連結(jié)PP′，如圖，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′，∠BAP=∠BP′C，∠PBP′=90°，則可判斷△PBP′為等腰直角三角形，于是有∠BPP′=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)勾股定理的逆定理證明△APP′為直角三角形，得到∠APP′=90°，所以∠BPA=∠BPP′+∠APP′=135°，則∠BP′C=135°．

解答 解：連結(jié)PP′，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，BA=BC，
∴△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP′，
∴BP=BP′，∠BAP=∠BP′C，∠PBP′=90°，
∴△PBP′為等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，PP′=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$，
在△APP′中，∵PA=1，PP′=2$\sqrt{2}$，AP′=3，
∴PA²+PP′²=AP′²，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=45°+90°=135°，
∴∠BP′C=135°．
故選D．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．