Question

8．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，P，Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
（2）求出發(fā)幾秒時(shí)，△QCB是等腰三角形？
（3）若P沿A→B→C，Q沿B→C→A方向周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)幾秒P，Q第一次相遇．

Answer 1

分析 （1）先確定出BP，BQ，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）先求出AC，再判斷出滿足條件的點(diǎn)Q必在AC上，再分三種情況討論計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意得出點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程相差三角形的周長(zhǎng)（類(lèi)似于環(huán)形跑道上的同向運(yùn)動(dòng)）．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)知，AP=1，BQ=2×1=2，
∵AB=12，
∴BP=12-t=11，
在Rt△PBQ中，根據(jù)勾股定理得，PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=5$\sqrt{5}$；

（2）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AC=15，
∵△QCB是等腰三角形，
∴點(diǎn)Q必在AC上，
當(dāng)QB=QC時(shí)，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，
∴t=（BC+$\frac{1}{2}$AC）÷2=（9+7.5）÷2=8.25秒，
當(dāng)CQ=CB=9時(shí)，t=（BC+CQ）÷2=（9+9）÷2=9秒，
當(dāng)BQ=BC時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，
∴CQ=2CD，
在Rt△ABC中，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12×9}{15}$=$\frac{36}{5}$，
在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理，得，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{27}{5}$，
∴CQ=2CD=$\frac{54}{5}$，
∴t=（BC+CQ）÷2=9.9秒，
即：出發(fā)8.25秒或9秒或9.9秒時(shí)，△QCB是等腰三角形；

（3）由題意知，2t-t=AB+BC+AC=12+9+15，
∴t=36，
即：經(jīng)過(guò)36秒，P，Q第一次相遇．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解（1）的關(guān)鍵是求出BP，解（2）的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)Q必在邊AC上，解（3）的關(guān)鍵是得出點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程相差三角形的周長(zhǎng)，是一道基礎(chǔ)題目．