Question

19．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E為BC的中點，AE與對角線BD交于點F．
（1）求證：DF=2BF；
（2）當(dāng)∠AFB=90°且tan∠ABD=$\frac{1}{2}$時，若CD=$\sqrt{5}$，求AD長．

Answer 1

分析 （1）證明△BEF∽△DAF，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；
（2）求出tan∠ABD=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，設(shè)AF=x，則BF=2x，由勾股定理求出x=1，AF=1，BF=2，得出DF=4，再由勾股定理即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵點E為BC的中點，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=2BF

（2）解：∵CD=$\sqrt{5}$，
∴AB=CD=$\sqrt{5}$，
∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∴tan∠ABD=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AF=x，則BF=2x，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{\;}2+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x=$\sqrt{5}$，
∴x=1，AF=1，BF=2，
∵DF=2BF，
∴DF=4，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，掌握平行四邊形的對邊平等且相等和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．