Question

19．如圖，點F在?ABCD的對角線AC上，過點F、B分別作AB、AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．
（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，∠CBE=30°，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由外角的性質可得∠AFB=∠FBC+∠FCB，又因為∠ABF=∠FBC+∠FCB，易得AB=AF，由菱形的判定定理可得結論；
（2）作DH⊥AC于點H，由特殊角的三角函數(shù)可得∠CBE=30°，由平行線的性質可得∠2=∠CBE=30°，利用銳角三角函數(shù)可得AH，DH，由菱形的性質和勾股定理得CH，得AC．

解答 （1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四邊形ABEF是平行四邊形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴?ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于點H，
∵∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=4$\sqrt{3}$，
DH=AD•sin∠2=4，
∵四邊形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=3，
∴AC=AH+CH=4$\sqrt{3}$+3．

點評 本題主要考查了菱形的性質及判定定理，銳角三角函數(shù)等，由銳角三角函數(shù)解得AH，CH是解答此題的關鍵．