Question

16．已知，BC∥OA，∠B=∠A=108°，試解答下列問題：
（1）如圖①，則∠O=72°，則OB與AC的位置關系為平行
（2）如圖②，若點E、F在線段BC上，且滿足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于36°；
（3）在第（2）題的條件下，若平行移動AC到如圖③所示位置．
①在AC移動的過程中，∠OCB與∠OFB的比值是否發(fā)生改變，若不改變求出其比值，若要改變說明理由；
②當∠OEB=∠OCA時，求∠OCA．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B+∠O=180°，求出∠O=72°，求出∠O+∠A=180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)角平分線定義求出∠EOC=$\frac{1}{2}∠BOA$=36°，即可得出答案；
（3）①不變，求出∠OFB=2∠OCB，即可得出答案；
②設∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，求出∠OCA=∠BOC=2α+β，α=β=18°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠B=108°，
∴∠O=72°，
∵∠A=108°，
∴∠O+∠A=180°，
∴OB∥AC，
故答案為：72°，平行；

（2）∵∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，∠BOA=72°，
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC=$\frac{1}{2}$∠BOF+$\frac{1}{2}$∠FOA=$\frac{1}{2}∠BOA$=36°，
故答案為：36°；

（3）①不變，
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，
又∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠OCB，
又∵BC∥OA，
∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB=1：2．
即∠OCB與∠OFB的比值為$\frac{1}{2}$；

②由（1）知：OB∥AC，
∴∠OCA=∠BOC，
由（2）可以設：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由（1）知：BC∥OA，
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°，
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關鍵．