Question

18．a(chǎn)是一個給定的整數(shù)，當(dāng)a為何值時，關(guān)于x和y的方程y³+1=a（xy-1）有正整數(shù)解？在有正整數(shù)解時，求解該不定方程．

Answer 1

分析 先判斷出xy-1|y³+1，當(dāng)且僅當(dāng)xy-1|x³+1，然后分情況討論計算，取特殊數(shù)計算即可．

解答 解：若有質(zhì)數(shù)p|x³、p|xy-1，則p|x，從而p|1，矛盾．所以（x³，xy-1）=1．所以xy-1|y³+1，當(dāng)且僅當(dāng)xy-1|x³（y³+1）．
因為x³（y³+1）=（x³y³-1）+（x³+1），顯然xy-1|x³y³-1，
所以xy-1|y³+1，當(dāng)且僅當(dāng)xy-1|x³+1．
（1）若y=1，2=a（x-1），所以x=2或x=3，a=2或1．
（2）類似地，若x=1，則y³+1=a（y-1）．所以y=2或y=3，a=9或a=14．
（3）由于有條件，不妨設(shè)．
若x=y，則x³+1=a（x²-1），所以x=y=2，a=3．
若x＞y，則y³＞a（y²-1），
因為a，y為整數(shù)，所以y=2或y=3．
當(dāng)y=2時，x=5；當(dāng)y=3時，x=5．對應(yīng)的a為1或2．
由條件知x=2，y=5；以及x=3，y=5也是原方程的解，對應(yīng)的整數(shù)a是14或9．
綜上，當(dāng)a=1、2、3、9、14時，原不定方程有正整數(shù)解，它們分別是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3）；（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）．

點評 此題是一次不定方程（組），主要考查有理數(shù)整數(shù)解，解本題的關(guān)鍵是xy-1|y³+1，當(dāng)且僅當(dāng)xy-1|x³+1．