Question

16．已知AB=AC，∠BAC=90°，過點C作AC的垂線交射線AR于點E，將△ACE以AR為軸問上翻折，翻折后點C落在點G處，再過點B作AB的垂線，交射線AG于點D．

（1）如圖1，當(dāng)射線AR與射線AG都在∠BAC的內(nèi)部時，求證：AD=BD+CE；
（2）如圖2，當(dāng)射線AR在∠BAC的內(nèi)部，射線AG在的∠BAC外部時，（1）的結(jié)論還是否成立，說明理由；
（3）如圖3當(dāng)射線AR與射線AG都在∠BAC的外部時（1）的結(jié)論還是否成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABF≌△ACE，想辦法得出DF=AD，從而得出結(jié)論；
（2）同理作輔助線，構(gòu)建△ABF≌△ACE，則∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，再證明∠AFB=∠AEC=∠BAE=∠FAD，根據(jù)等角對等邊得DF=AD，由全等三角形對應(yīng)邊相等可知：CE=BF，所以CE=BD+AD；
（3）（1）的結(jié)論仍然成立，作輔助線構(gòu)建△ABF≌△ACE，∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，再證明AD=DF，則DF=BD+BF=BD+CE，所以AD=BD+CE．

解答 證明：（1）延長DB至F，使BF=CE，連接AF，
∵AB⊥BD，CE⊥AC，
∴∠ABF=∠ACE=90°，
∵AB=AC，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠FAB=∠EAC，
由折疊得：△AGE≌△ACE，
∴∠GAE=∠EAC，
∴∠FAB=∠GAE=∠EAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠EAC=90°，
∴∠BAG+∠FAB+∠GAE=90°，
∵∠F+∠FAB=90°，
∴∠F=∠BAG+∠GAE，
∴∠F=∠BAG+∠FAB，
∴∠F=∠FAD，
∴DF=AD，
∴AD=BD+BF=BD+CE；
（2）（1）的結(jié)論不成立，存在CE=BD+AD，理由是：
如圖2，延長BD至F，使BF=CE，連接AF，
∵∠ABF=∠ACE=90°，AB=AC，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠FAB=∠EAC，∠AEC=∠AFB，
由折疊得：∠GAE=∠EAC，
∴∠FAB=∠GAE，
∴∠FAB-∠GAB=∠GAE-∠GAB，
即∠FAD=∠BAE，
∵∠BAC=90°，∠ACE=90°，
∴AB∥CE，
∴∠BAE=∠AEC，
∴∠AFB=∠AEC=∠BAE=∠FAD，
∴AD=DF，
∴CE=BF=BD+DF，
∴CE=BD+AD；
（3）如圖3，當(dāng)射線AR與射線AG都在∠BAC的外部時，（1）的結(jié)論仍然成立，
延長DB至F，使BF=CE，
∵AC=AB，∠ABF=∠ACE=90°，
∴△ABF≌△ACE，
∴∠F=∠AEC，∠BAF=∠EAC，
∴∠BAF+∠FAC=∠EAC+∠FAC=90°，
即∠FAE=90°，
∴∠GAE+∠DAF=90°，
由折疊得：∠GAE=∠EAC，
∴∠GAE=∠EAC=∠BAF，
∵∠ABF=90°，
∴∠F+∠BAF=90°，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=DF，
∵DF=BD+BF=BD+CE，
∴AD=BD+CE．

點評 本題是幾何變換的綜合題，難度適中，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定；在證明線段的和或差時，通常采用兩類方法：①延長短邊等于長邊；②在長邊上截取一線段等于短邊，并構(gòu)建三角形全等，從而得出結(jié)論．