Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為$\sqrt{2}$，∠AOB=∠OBA=45°，則k的值為1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過A作AM⊥y軸于M，過B作BD選擇x軸于D，直線BD與AM交于點(diǎn)N，則OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定與性質(zhì)得出OA=BA，∠OAB=90°，證出∠AOM=∠BAN，由AAS證明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=$\sqrt{2}$，OM=AN=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，求出B（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$），得出方程（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$）•（$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$）=k，解方程即可．

解答 解：過A作AM⊥y軸于M，過B作BD選擇x軸于D，直線BD與AM交于點(diǎn)N，如圖所示：
則OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
在△AOM和△BAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOM=∠BAN}&{\;}\\{∠AMO=∠BNA}&{\;}\\{OA=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BAN（AAS），
∴AM=BN=$\sqrt{2}$，OM=AN=$\frac{k}{\sqrt{2}}$，
∴OD=$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，OD=BD=$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$，
∴B（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$，$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$），
∴雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和B，
∴（$\frac{k}{\sqrt{2}}$+$\sqrt{2}$）•（$\frac{k}{\sqrt{2}}$-$\sqrt{2}$）=k，
整理得：k²-2k-4=0，
解得：k=1±$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去），
∴k=1+$\sqrt{5}$；
故答案為：1+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．