Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B交y軸于C，拋物線的對稱軸為x=1，OB=3AO
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線上一動點，M、N在直線l：y=-3x-6上，PM∥y軸，△PMN是以MN為底的等腰三角形，問是否存在這樣的P、M、N三個點，使得△PMN的面積最��？若存在，求其最值；若不存在，請說明理由．
（3）將（2）中直線l沿拋物線的對稱軸向上平移m個單位，設(shè)平移后的直線交拋物線于F、G兩點（拋物線上的點F在點C的左邊），連接OF、OC．問是否存在這樣的直線，使得△FOG為鈍角三角形？若存在，求m的值或取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸方程x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$列方程即可求得結(jié)果．
（2）設(shè)P坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則M點坐標(biāo)為（x，-3x-6），過點P做MN的垂線，垂足為Q點，則由△PMN是以MN為底的等腰三角形，所以S_△PMN=2S_△PMQ，在Rt△APMQ中，MQ=3PQ，由勾股定理計算可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$PM，QM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$PM，由S_△PMN=2S_△PMQ=$\frac{1}{2}$MN×PQ=$\frac{1}{2}$×2QM×PQ=QM×PQ=$\frac{3}{10}$PM²，因此只需求出PM的最小值即可，
（3）設(shè)平移后時直線解析式是y=-3x-6+m，向上平移當(dāng)∠FOG是直角時，分別過F、G作FK⊥x軸于K，GL⊥x軸于L，得到△FXD∽△OLG，設(shè)出點F，G的坐標(biāo)，代入比例式求得x₁x₂+y₁y₂=0，再把F，G點的坐標(biāo)代入y=-3x-6+m，得到y(tǒng)₁=-3x₁-6+m，y₂=-3x₂-6+m．所以y₁y₂=9x₁x₂+（18-3m）（x₁+x₂）+（m-6）²，聯(lián)立方程組消去y得x²+x+3-m=0，得到x₁十x₂=-1，x₁x₂=3-m，代入y₁y₂即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∵OB=3AO，對稱軸為x=1，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}{-3x}_{1}}{2}$=1，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b-3}\\{0=9a+3b-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）設(shè)P坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），則M點坐標(biāo)為（x，-3x-6），
如圖1，過點P做MN的垂線，垂足為Q點，則由△PMN是以MN為底的等腰三角形，
所以S_△PMN=2S_△PMQ，在Rt△APMQ中，MQ=3PQ，
由勾股定理計算可得PQ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$PM，QM=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$PM，
∴S_△PMN=2S_△PMQ=$\frac{1}{2}$MN×PQ=$\frac{1}{2}$×2QM×PQ=QM×PQ=$\frac{3}{10}$PM²，
因此只需求出PM的最小值即可，
PM=y_p-y_M=（ x²-2x-3）-（-3x-6）=x²+x+3=（x+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{11}{4}$，
當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，PM有最小值$\frac{11}{4}$，
此時S_△PMN=$\frac{3}{10}$PM²=$\frac{363}{160}$；

（3）存在，
設(shè)平移后時直線解析式是y=-3x-6+m．
當(dāng)直線過A、C兩點時∠FOG是直角．此時m=3，
當(dāng)直線過O點時，∠FOG=180°，此時m=6，
繼續(xù)向上平移當(dāng)∠FOG是直角時，
如圖2，分別過F、G作FK⊥x軸于K，GL⊥x軸于L，
∴△FXD∽△OLG，
設(shè)F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
易得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴y₁=-3x₁-6+m，y₂=-3x₂-6+m．y₁y₂=9x₁x₂+（18-3m）（x₁+x₂）+（m-6）²
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-6+m}\\{y{=x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y得x²+x+3-m=0，
∴x₁十x₂=-1，x₁x₂=3-m，
解得m=3（舍去）或16，
∴3＜m＜6或6＜m＜16．
∴當(dāng)3＜m＜6或6＜m＜16時，△FOG為鈍角三角形．

點評 本題考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，作出輔助線是做題的關(guān)鍵．