Question

1．如圖，已知點A （2$\sqrt{3}$，0）、B（2$\sqrt{3}$，2）．將△OAB沿OB折疊后，點A落在點c處，拋物線經(jīng)過O、A、C三點，其對稱軸與OB交于點D．
（1）求拋物線的解析式．
（2）P是拋物線上一點，過點P且平行于y軸的直線交直線OB于點E．求以點C、P、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點P有幾個？
（3）若Q為線段DB上一點，過點Q作y軸的平行線，交拋物線于點F．問：是否存在這樣的點Q，使得四邊形CDQF為等腰梯形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△OAB中利用三角函數(shù)的定義求出∠AOB=30°，則利用折疊的性質得∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，作CH⊥y軸于H，如圖1，易∠COH=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得CH=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，OH=$\sqrt{3}$CH=3，則C（$\sqrt{3}$，3），然后設交點式y(tǒng)=ax（x-2$\sqrt{3}$），再把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式為y=-x²+2$\sqrt{3}$x；
（2）如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線OB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，則可確定D（$\sqrt{3}$，1），所以CD=2，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設P（t，-t²+2$\sqrt{3}$t），則E（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），根據(jù)平行四邊形的判定方法得PE=2，即|-t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t|=2，然后去絕對值解關于t的方程即可確定P點坐標；
（3）如圖2，作FM⊥CD于M，QN⊥CD于N，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設Q（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），則F（x，-x²+2$\sqrt{3}$x），根據(jù)等腰梯形的判定方法，當CM=ND時，四邊形CDQF為等腰梯形，即3-（-x²+2$\sqrt{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，然后解此方程即可得到Q點坐標．

解答 解：（1）∵A （2$\sqrt{3}$，0）、B（2$\sqrt{3}$，2），
∴OA=2$\sqrt{3}$，AB=2，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∵△OAB沿OB折疊后，點A落在點c處，
∴∠COB=∠AOB=30°，OC=OA=2$\sqrt{3}$，
作CH⊥y軸于H，如圖1，∠COH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{3}$，OH=$\sqrt{3}$CH=3，
∴C（$\sqrt{3}$，3），
設拋物線解析式為y=ax（x-2$\sqrt{3}$），
把C（$\sqrt{3}$，3）代入的a•$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$）=3，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-x（x-2$\sqrt{3}$），即y=-x²+2$\sqrt{3}$x；
（2）如圖1，設直線OB的解析式為y=kx，
把B（2$\sqrt{3}$，2）代入得2$\sqrt{3}$k=2，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線OB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
當x=$\sqrt{3}$時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=1，則D（$\sqrt{3}$，1），
∴CD=2，
設P（t，-t²+2$\sqrt{3}$t），則E（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t），
∴PE=|-t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t|=|t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t|，
∵點C、P、E、D為頂點的四邊形為平行四邊形，
而PE∥CD，
∴PE=2，即|t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t|=2，
當t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t=2時，解得t₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，t₂=$\sqrt{3}$（舍去），此時P點坐標為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
當t²-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t=-2時，解得t₁=2$\sqrt{3}$，t₂=-$\sqrt{3}$，此時P點坐標為（2$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，-3），
綜上所述，以點C、P、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點P有3個，它們是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{8}{3}$），（2$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，-3）；
（3）存在．
如圖2，作FM⊥CD于M，QN⊥CD于N，
設Q（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x），則F（x，-x²+2$\sqrt{3}$x），
∵FQ∥CD，
∴當CM=ND時，四邊形CDQF為等腰梯形，
即3-（-x²+2$\sqrt{3}$x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
整理得x²-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$x+4=0，解得x₁=$\sqrt{3}$（舍去），x₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
此時Q點坐標為（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和折疊的性質；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；理解坐標與圖形性質；熟悉平行四邊形的性質和等腰梯形的判定方法；會解一元二次方程；學會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．