Question

已知∠GOH=90°，A、C分別是OG、OH上的點(diǎn)，且OA=OC=4，以O(shè)A為邊長作正方形OABC．
（1）E是邊OC上一點(diǎn)，作∠AEF=90°使EF交正方形的外角平分線CF于點(diǎn)F（如圖1），求證：EF=AE．
（2）現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在∠GOH的角平分線OP上時停止旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交OP于點(diǎn)M，BC邊交OH于點(diǎn)N（如圖2），
①旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
②設(shè)△MBN的周長為p，在正方形OABC的旋轉(zhuǎn)過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線，證明△AME≌△ECF，即可解決問題．
（2）如圖2，根據(jù)題意結(jié)合圖形，證明△OAM≌△OCN，得到∠AOM=∠CON=

90°-45°

2

=22.5°，求出∠GOA即可解決問題．
（3）如圖3，作輔助線，證明△OAM≌△OCQ，得到OM=OQ，∠MON=∠QON；證明△OMN≌△OQN，得到MN=QN=AM+CN，問題即可解決．

解答：解：（1）如圖1，
在OA上截取線段AM，使AM=CE；
∵四邊形ABCO是正方形，
∴AO=CO，∠O=∠ECB=90°；
∴OM=OE，∠OME=45°；而OF平分∠BCH，
∴∠AME=135°，∠ECF=90°+45°=135°；
∵AE⊥EF，∠O=90°，
∴∠OAE+∠AEO=∠AEO+∠CEF，
∴∠OAE=∠CEF；
在△AME與△ECF中，

∠MAE=∠CEF AM=CE ∠AMC=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴EF=AE．
（2）如圖2，∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，
∴∠BMN=∠BNM，BM=BN；
∵AB=BC，
∴AM=CN；
∵四邊形ABCO是正方形，
∴AO=CO，∠OAM=∠OCN；
在△OAM與△OCN中，

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=CN

，
∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON=

90°-45°

2

=22.5°，
∴∠GOA=45°-22.5°=22.5°，
即當(dāng)MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)了22.5°．
（3）如圖3，延長BC到Q，使CQ=AM，連接OQ；
在△OAM與△OCQ中，

OA=OC ∠OAM=∠OCQ AM=CQ

，
∴△OAM≌△OCQ（SAS），
∴∠COQ=∠AOM，
∠QON=∠AOM+∠CON=45°，
OM=OQ；
在△OMN與△OQN中，

OM=OQ ∠MON=∠QON ON=ON

，
∴△OMN≌△OQN（SAS），
∴MN=QN=AM+CN，
∴△MBN的周長p=2AB=8，為定值，不變．

點(diǎn)評：該題以正方形為載體，以旋轉(zhuǎn)變換為方法，以全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等重要幾何知識點(diǎn)為考查的核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．