Question

2．⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃的半徑分別是1cm、2cm、3cm．它們兩兩外切．求△O₁O₂O₃內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

分析 連接O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃，設(shè)△O₁O₂O₃內(nèi)切圓為O，過(guò)O作OD⊥O₂O₃于D，OE⊥O₁O₃于E，OF⊥O₂O₁于F，連接OO₁、OO₂、OO₃，設(shè)OD=OE=OF=Rcm，求出△O₁O₂O₃的三邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，根據(jù)三角形的面積求出半徑R，即可求出答案．

解答 解：
連接O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃，設(shè)△O₁O₂O₃內(nèi)切圓為O，過(guò)O作OD⊥O₂O₃于D，OE⊥O₁O₃于E，OF⊥O₂O₁于F，連接OO₁、OO₂、OO₃，
設(shè)OD=OE=OF=Rcm，
∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃的半徑分別是1cm、2cm、3cm．它們兩兩外切，
∴O₁O₂=3cm，O₁O₃=4cm，O₂O₃=5cm，
∴O₁O₂²+O₁O₃²=O₂O₃²，
∴∠O₁O₃=90°，
由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}×3$×4=$\frac{1}{2}$×3R+$\frac{1}{2}×4R$+$\frac{1}{2}$×5R，
解得：R=1，
所以△O₁O₂O₃內(nèi)切圓的面積為π×1²=π（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相切兩圓的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的面積的應(yīng)用，能求出關(guān)于R的方程是解此題的關(guān)鍵．