Question

1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC，AE=DC．
（1）求證：AB=BC，AE⊥DC；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE與DC相交于點(diǎn)F，利用SAS證明三角形全等即可得證；
（2）由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)．

解答 （1）證明：在△ABE和△CBD中，延長(zhǎng)AE與DC相交于點(diǎn)F，如圖：

在RT△ABE與RT△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠ABE=∠CBD=90°}\\{AE=DC}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△CBD（SAS），
∴AB=BC；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC
（2）解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB為△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
則∠BDC=75°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．