Question

7．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x不等式x≤f（x）≤$\frac{1}{2}$（x²+1），則函數(shù)f（x）的表達(dá)式是f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得a、b、c的關(guān)系，根據(jù)解不等式組，可得a的值，可得函數(shù)解析式．

解答 解：將（-1，0）代入得f（x）=ax²+bx+c，得b=a+c．
頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），x=-$\frac{2a}$=-1，得b=2a=a+c，a=c．
由x≤f（x）=ax²+（a+c）x+c=＞ax²+（a+c-1）x+c≥0對(duì)一切x都成立，所以有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（2a-1）^{2}-4{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{4}$，
（a-$\frac{1}{2}$）x²+（a+c）x+（c-$\frac{1}{2}$）≤0對(duì)一切x都成立，所以有$\left\{\begin{array}{l}{a-1＜0}\\{（2a）^{2}-4（a-\frac{1}{2}）（a-\frac{1}{2}）≤0}\end{array}\right.$，解得a≤$\frac{1}{4}$，
∴b=2a=$\frac{1}{2}$，a=c=$\frac{1}{4}$．
f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．
故答案為：f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與不等式組，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)得出a、b、c的關(guān)系，再利用解不等式組得出a的值是解題關(guān)鍵．