Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D是弧AC上一點，連接BD，E是BD上一點，且BE=CD．
（1）求證：△AED為等腰三角形；
（2）已知∠BCA=60°，ED=8，CD=2，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得∠ABE與∠ACD，再根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，可得AE與AD的關系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得答案．
（2）由（1）中的結論和圓周角定理判定△AED是等邊三角形，則在△ABE中，利用余弦定理得到AB的長度，則AC=AB．

解答 （1）證明：∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABE=∠ACD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴AE=AD，
即△AED為等腰三角形；

（2）由（1）知，AE=AD．
∵∠BCA=60°，
∴∠BDA=∠BCA=60°，
∴∠ADE=60°．
∴△AED是等邊三角形，
∴AE=DE=8∠AEB=120°，
∴AB=$\sqrt{AE^2+BE^2-2AE•BEsin120°}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．利用了同弧的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．