Question

17．如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的判定定理：兩組對(duì)邊分別平行得到結(jié)論；
（2）由角平分線(xiàn)、等量代換得到角相等，由等角對(duì)等邊得到BD=AB=5，根據(jù)勾股定理列方程求解．

解答 （1）證明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED=∠BDA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=5，
設(shè)BF=x，則DF=5-x，
∴AD²-DF²=AB²-BF²，
∴6²-（5-x）²=5²-x²，
∴x=$\frac{7}{5}$，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}{-BF}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∴AC=2AF=$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理列方程．