Question

5．閱讀材料（1），并利用（1）的結(jié)論解決問題（2）和問題（3）．
（1）如圖1，AB∥CD，E為形內(nèi)一點，連結(jié)BE、DE得到∠BED，求證：∠E=∠B+∠D．
悅悅是這樣做的：
過點E作EF∥AB．則有∠BEF=∠B．
∵AB∥CD，∴EF∥CD．
∴∠FED=∠D．
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D．
即∠BED=∠B+∠D．
（2）如圖2，畫出∠BEF和∠EFD的平分線，兩線交于點G，猜想∠G的度數(shù)，并證明你的猜想．
（3）如圖3，EG₁和EG₂為∠BEF內(nèi)滿足∠1=∠2的兩條線，分別與∠EFD的平分線交于點G₁和G₂，求證：∠FG₁E+∠G₂=180°．

Answer 1

分析 （2）如圖2所示，猜想：∠EGF=90°；由結(jié)論（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根據(jù)EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到結(jié)論；
（3）如圖3，過點G₁作G₁H∥AB由結(jié)論（1）可得∠G₂=∠1+∠3，∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，得到∠3=∠G₂FD，由于FG₂平分∠EFD求得∠4=∠G₂FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G₂=∠2+∠4，由于∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，得到∠EG₁F+∠G₂=∠2+∠4+∠BEG₁+∠G₁FD=∠BEF+∠EFD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （2）如圖2所示，猜想：∠EGF=90°；
證明：由結(jié)論（1）得∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分別平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴2∠BEG+2∠GFD=180°，
∴∠BEG+∠GFD=90°，
∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF=90°；

（3）證明：如圖3，過點G₁作G₁H∥AB，
∵AB∥CD，∴G₁H∥CD，
由結(jié)論（1）可得∠G₂=∠1+∠3，∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，
∴∠3=∠G₂FD，
∵FG₂平分∠EFD，
∴∠4=∠G₂FD，
∵∠1=∠2，
∴∠G₂=∠2+∠4，
∵∠EG₁F=∠BEG₁+∠G₁FD，
∴∠EG₁F+∠G₂=∠2+∠4+∠BEG₁+∠G₁FD=∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EG₁F+∠G₂=180°．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．