Question

14．設(shè)a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求（$\frac{a^{2}+^{2}-3a+1}{a}$）²的值．

Answer 1

分析 先把等式b⁴-2b²-1=0兩邊除以b⁴變形得到（$\frac{1}{^{2}}$）²+2•（$\frac{1}$）²-1=0，于是可把a和$\frac{1}{^{2}}$看作方程x²+2x-1=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+$\frac{1}{^{2}}$=-2，a•$\frac{1}{^{2}}$=-1，則ab²+1=-2b²，a=-b²，然后利用整體代入的方法計算所求代數(shù)式的值．

解答 解：∵b⁴-2b²-1=0，
∴1-2•（$\frac{1}$）²-（$\frac{1}{^{2}}$）²=0，
即（$\frac{1}{^{2}}$）²+2•（$\frac{1}$）²-1=0，
而a²+2a-1=0，
∴a和$\frac{1}{^{2}}$可看作方程x²+2x-1=0的兩根，
∴a+$\frac{1}{^{2}}$=-2，a•$\frac{1}{^{2}}$=-1，
∴ab²+1=-2b²，a=-b²，
∴原式=（$\frac{-2^{2}+^{2}+3^{2}}{-^{2}}$）²
=（-2）²
=4．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．