Question

8．如圖，A（-5，0），B（3，0），拋物線如圖所示．
（1）在拋物線上是否存在點(diǎn)C，D．使四邊形ABCD為平行四邊形？若存在，求出C，D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（2）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找到一點(diǎn)P，使△ADP的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（1）的條件下，在直線0C上是否存在點(diǎn)Q，使三角形CDQ是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得CD與AB的關(guān)系，根據(jù)C與D關(guān)于y軸對(duì)稱，可得答案；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，可得AC與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）分類討論：當(dāng)DQ=CQ時(shí)，當(dāng)DC=CQ時(shí)，當(dāng)DC=DQ，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）四邊形ABCD為平行四邊形，得
CD∥AB，CD=AB=8．
C、D關(guān)于對(duì)稱軸y軸對(duì)稱，得
C橫坐標(biāo)為4，D的橫坐標(biāo)為-4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×4²=8，即C（4，8）；
當(dāng)x=-4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$×（-4）²=8，即D（-4，8）；
（2）如圖，連接AC交y軸于P點(diǎn)，AD+AP+PD=AC+AD，
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{4k+b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{8}{9}}\\{b=\frac{40}{9}}\end{array}\right.$，
直線AC的解析式為y=$\frac{8}{9}$x+$\frac{40}{9}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{40}{9}$，
即P（0，$\frac{40}{9}$）；
（3）OC的解析式為y=2x，設(shè)Q（m，2m），
①當(dāng)DQ=CQ時(shí)，（m+4）²+（2m-8）²=（m-4）²+（2m-8）²，解得m=0，即Q₁（0，0）；
②當(dāng)DC=CQ時(shí)，（m-4）²+（2m-8）²=8²，化簡(jiǎn)，的5m²-40m+16=0，解得m=4±$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)m=4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$時(shí)，y=2m=8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，Q₂（4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；
當(dāng)m=4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$時(shí)，y=8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，Q₃（4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；
③當(dāng)DC=DQ時(shí)，（m+4）²+（2m-8）²=8²，化簡(jiǎn)，得5m²-24m+16=0，解得m=4，m=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)m=4時(shí)，y=2m=8，Q₄（4，8），
當(dāng)m=$\frac{4}{5}$時(shí)，y=2m=$\frac{8}{5}$，Q₅（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
綜上所述：Q₁（0，0）；
Q₂（4+$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8+$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；Q₃（4-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，8-$\frac{16\sqrt{5}}{5}$）；Q₄（4，8），Q₅（$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了平行四邊形的性質(zhì)得出DC與AB的關(guān)系是解題關(guān)鍵；利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)；利用勾股定理的出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．