Question

3．定義：我們把二次函數(shù)y=ax²+bx+c和y=-ax²+bx-c這兩個二次函數(shù)稱為一對友好函數(shù)，并稱函數(shù)y=ax²+bx+c是函數(shù)y=-ax²+bx-c的友好函數(shù)．函數(shù)y=-ax²+bx-c也是函數(shù)y=ax²+bx+c的友好函數(shù)．
（1）請你寫出一對友好函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=2x²+bx+c與它的友好函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)重合，求b和c的值；
（3）如圖，若函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)P是拋物線y=$（\frac{1}{4}x+1）^{2}$第一象限上的一個動點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0）和點(diǎn)B（x₂，0），且x₁＜x₂，并且它的友好函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)C（x₃，0）和點(diǎn)D（x₄，0），且x₃＜x₄若點(diǎn)D和點(diǎn)A是線段CB的三等分點(diǎn)，求b和c的值．

Answer 1

分析 （1）任意取一組a、b、c的值代入函數(shù)解析式即可得到一對友好函數(shù)；
（2）由拋物線的頂點(diǎn)重合可知：$\frac{-b}{-2}=\frac{-b}{2}$，c=-c，從而可求得b=0，c=0；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$（\frac{1}{4}m+1）^{2}$），則兩拋物線的解析式為y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$和y₂=$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$，然后分別令y₁=0，y₂=0，從而可解得各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得AB、CD、AD的長度（用含m的式表示），然后根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)A是線段CB的三等分點(diǎn)列出關(guān)于m的方程，從而可求得m的值，將m的值代入函數(shù)的解析式得到拋物線的一般形式即可求得b、c的值．

解答 解：（1）令a=1，b=2，c=3得：y=ax²+bx+c=x²+2x+3，y=-ax²+bx-c=-x²+2x-3，
∴y=x²+2x+3和y=-x²+2x-3是一對友好函數(shù)；
（2）∵兩個函數(shù)的頂點(diǎn)重合，
∴兩拋物線的對稱軸重合，即：$\frac{-b}{-2}=\frac{-b}{2}$．
∴b=0．
∴兩拋物線的解析式為y=2x²+c和y=-2x²-c．
∵兩個函數(shù)的頂點(diǎn)重合，
∴c=-c．
解得：c=0，
所以b=0，c=0；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，$（\frac{1}{4}m+1）^{2}$），則兩拋物線的解析式為y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$和y₂=$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$，
令y₁=0得：-$（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}=0$，
解得：x_A=$\frac{3}{4}m-1$，x_B=$\frac{5}{4}m+1$，
∴AB=$\frac{5}{4}m+1-（\frac{3}{4}m-1）$=$\frac{1}{2}m+2$．
令y₂=0得：$（x+m）^{2}-（\frac{1}{4}m+1）^{2}$=0，
解得：x_C=$-\frac{5}{4}m-1$，x_D=$-\frac{3}{4}m+1$，
如圖1：

則AD=$\frac{3}{4}m-1-（-\frac{3}{4}m+1）$=$\frac{3}{2}m-2$
∵點(diǎn)D和點(diǎn)A是線段CB的三等分點(diǎn)，
∴AD=AB
∴$\frac{3}{2}m-2=\frac{1}{2}m+2$．
解得：m=4，
∴y₁=-（x-4）²+4=-x²+8x-12，所以b=8，c=-12．
如圖2；

則AD=$-\frac{3}{4}m+1-（\frac{3}{4}m-1）$=2-$\frac{3}{2}m$．
∵點(diǎn)D和點(diǎn)A是線段CB的三等分點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB．
∴$2-\frac{3}{2}m=\frac{1}{2}（\frac{1}{2}m+2）$．
解得：m=$\frac{4}{7}$，
∴y₁=$-（x-m）^{2}+（\frac{1}{4}m+1）^{2}$=-$（x-\frac{4}{7}）^{2}+（\frac{8}{7}）^{2}$=-${x}^{2}+\frac{8}{7}x+\frac{48}{49}$．
∴b=$\frac{8}{7}$，c=$\frac{48}{49}$．
綜上所述，可知b=8，c=-12或b=$\frac{8}{7}$，c=$\frac{48}{49}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而得出拋物線的解析式（含字母m），然后求得A、B、C、D各點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得出AB、AD的長度是解題的關(guān)鍵．