Question

18．校車安全是近幾年社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組進(jìn)行了測試汽車速度的實(shí)驗．如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)A，在公路1上確定點(diǎn)B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上確定點(diǎn)D，使得∠BDC=75°，測得AD=40米．已知本路段對校車限速是50千米/時，測得某校車從B到C勻速行駛用時10秒．
（1）求CD的長．（結(jié)果保留根號）
（2）問這輛車在本路段是否超速？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$=1.414，$\sqrt{3}$=1.73）

Answer 1

分析 （1）作DE∥AB交BC于E，則∠CDE=∠A，設(shè)CD=x米，求出∠CED=30°，得出DE=2CD=2x，CE=$\sqrt{3}$x，證明BE=DE=2x，由BC=$\sqrt{3}$AC得出方程，解方程即可；
（2）由（1）得：x=20$\sqrt{3}$，得出BC的長，求出校車從B到C勻速行駛的速度，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作DE∥AB交BC于E，如圖所示：
則∠CDE=∠A=60°，
設(shè)CD=x米，
∵AC⊥l，
∴∠ACB=90°，
∴∠CED=30°，
∴DE=2CD=2x，
∴CE=$\sqrt{3}$x，
∵∠BDC=75°，
∴∠BDE=15°，
∵∠CED=∠BDE+∠DBE，
∴∠DBE=15°=∠BDE，
∴BE=DE=2x，
又∵∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
∴$\sqrt{3}$x+2x=$\sqrt{3}$（x+40），
解得：x=20$\sqrt{3}$，
即CD=20$\sqrt{3}$米；
（2）這輛車在本路段不超速；理由如下：
由（1）得：x=20$\sqrt{3}$，
∴BC=CE+BE=$\sqrt{3}$×20$\sqrt{3}$+2×20$\sqrt{3}$=60+40$\sqrt{3}$（米），
校車從B到C勻速行駛用時10秒，
速度為（60+40$\sqrt{3}$）÷10=6+4$\sqrt{3}$（米/秒）≈46.67千米/小時＜50千米/小時，
∴這輛車在本路段不超速．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)的運(yùn)用；熟練掌握勾股定理的運(yùn)用，通過作輔助線求出CD是解決問題的關(guān)鍵．