Question

18．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F(xiàn)分別為AD，CD上的動點，且AE+CF=2，則線段EF長的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，易得△ABD、△CBD都是邊長為2的正三角形，繼而證得△BDE≌△BCF（SAS），繼而證得△BEF是正三角形，繼而可得當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點時，線段EF長最�。�

解答 解：∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD、△CBD都是邊長為2的正三角形，
∵AE+CF=2，
∴CF=2-AE=AD-AE=DE，
又∵BD=BC=2，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠BDE=∠C}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點時，BE的最小值為$\sqrt{3}$，
∵EF=BE，
∴EF的最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△BDE≌△BCF是解此題的關(guān)鍵．