Question

3．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（8，0）
（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸．
（2）連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由．
（3）M為拋物線上BC之間的一點(diǎn)，N為線段BC上的一點(diǎn)，若MN∥y軸，求MN的最大值；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b的值，即可得到拋物線解析式，再根據(jù)對(duì)稱軸方程列式計(jì)算即可得解；
（2）令y=0，解方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0求出y的值得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出OA、OB、OC，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；
（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出解析式，再表示出MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，過點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，然后分①AC=CQ時(shí)，利用勾股定理列式求出DQ，分點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方和下方兩種情況求出點(diǎn)Q到x軸的距離，再寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=CQ，再寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（8，0）在拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4上，
∴-$\frac{1}{4}$×64+8b+4=0，
解得：b=$\frac{3}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$=3；

（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y=0，則-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
即x²-6x-16=0，
解得：x₁=-2，x₂=8，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
令x=0，則y=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
∴OA=2，OB=8，OC=4，
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$=2，∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB；

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵M(jìn)N∥y軸，
∴MN=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4-（-$\frac{1}{2}$x+4），
=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4+$\frac{1}{2}$x-4，
=-$\frac{1}{4}$x²+2x，
=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最大，最大值為4；

（4）由勾股定理得，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
過點(diǎn)C作CD⊥對(duì)稱軸于D，則CD=3，
①AC=CQ時(shí)，DQ=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4+$\sqrt{11}$，
此時(shí)點(diǎn)Q₁（3，4+$\sqrt{11}$），
點(diǎn)Q在點(diǎn)D的下方時(shí)，點(diǎn)Q到x軸的距離為4-$\sqrt{11}$，
此時(shí)點(diǎn)Q₂（3，4-$\sqrt{11}$），
②點(diǎn)Q為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)時(shí)，AQ=5，
CQ=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AQ=CQ，
此時(shí)，點(diǎn)Q₃（3，0），
③當(dāng)AC=AQ時(shí)，∵AC=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離為5，2$\sqrt{5}$＜5，
∴這種情形不存在．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，4+$\sqrt{11}$）或（3，4-$\sqrt{11}$）或（3，0）時(shí)，△ACQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定，二次函數(shù)的最值問題，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（4）要分情況討論．