Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交$\widehat{AC}$于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．
（1）求證：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，當(dāng)F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)時(shí)，判斷以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和PE⊥OE以及∠OAC=∠OCA得∠APE=∠DPC，然后結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC為等邊三角形，可得∠AOC=120°，由F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，易得△AOF與△COF均為等邊三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

解答 （1）證明：連接OC，
∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DC=DP；

（2）解：以A，O，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠AOC=120°，
連接OF，AF，
∵F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF與△COF均為等邊三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四邊形OACF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理和等邊三角形的判定等，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線利用切線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．