Question

10．如圖，正△ABC的邊長為6，點D是BC邊上一點，連結(jié)AD，將AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AE，連結(jié)DE交AB于點F．
（1）填空：若∠BAD=20°，則∠BDF=40°；
（2）若當(dāng)點D在線段BC上運動時（不與B、C兩點重合），設(shè)BD=x，BF=y，
試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，請求出AE的長．

Answer 1

分析 （1）先證△AED是等邊三角形，從而∠BDF=∠EAF；
（2）證明△BDF∽△CAD，列出相似比例關(guān)系即可；
（3）過點D作DG⊥AC于G，求出DG、AG，就可求出AD，而AD=AE．

解答 解：（1）∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BDF=∠EAF，
∵∠BAD=20°，
∴∠EAF=40°，
∴∠BDF=40°；
（2）∵∠EDA=60°，
∴∠BDF+∠ADC=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDF=∠DAC，
∴△BDF∽△CAD，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{CD}{AC}$，
∵BF=y，BD=x，AB=BC=AC=6，
∴$\frac{y}{x}=\frac{6-x}{6}$，
∴$y=-\frac{1}{6}{x}^{2}+x$；
（3）過點D作DG⊥AC于G，如圖，

∵BC=6，$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴BD=2，CD=4，
∵∠ACB=60°，
∴CG=2，DG=2$\sqrt{3}$，
∴AG=4，
∴AD=$2\sqrt{7}$，
∵△AED是等邊三角形，
∴AE=AD=$2\sqrt{7}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)、勾股定理等知識點，難度中等．第（1）問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)移角度；知道“一線三等角相似模型”是迅速解決第（2）問的關(guān)鍵；對于線段長度的求法，往往構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．