Question

6．如圖1，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，點P、Q分別是線段AD和線段BC上的動點，滿足∠PQB=60°．
（1）填空：①∠ACB=30度；②PQ=4．
（2）設線段BC的中點為N，PQ與線段AC相交于點M，若△CMN為直角三角形，請直接寫出滿足條件的AP的長度．
（3）設AP=x，△PBQ與△ABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的性質(zhì)得出∠ABC=90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得出tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得出結(jié)果； ②作PG⊥BC于G，由三角函數(shù)求出PQ即可；
（2）設AP=x；分兩種情況：①當∠NMC=90°時，先求出CN=$\frac{1}{2}$BC=3，根據(jù)題意得出∠PAM=∠PMA=∠QMC=∠QCM=30°，∠MNQ=∠MQN=60°，得出PM=AP=x，MQ=4-x，MN=$\frac{3}{2}$，MN=MQ，得出4-x=$\frac{3}{2}$，解方程即可；②當∠MNC=90°時，延長NM交AD于H；在Rt△PMH中，PM=2，HM=$\sqrt{3}$，則PH=1，得出AP=AH-PH=2；
（3）連結(jié)PC，先證明△APE∽△CBE，得出比例式，求出△BEC的面積，再求出△PQC的面積和△CMQ的面積，S_{四邊形BQME}=S_△BEC-S_△CMQ，即可得出結(jié)果；當P與A重合時，x=0；當Q與C重合時，x=4；即可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC=6，AD∥BC，
∴tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°，
故答案為：30；  
②作PG⊥BC于G，如圖1所示：
則∠PGC=90°，PG=AB=2$\sqrt{3}$，
∴PQ=$\frac{PG}{sin∠PQB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
故答案為：4；
（2）設AP=x；分兩種情況：
①當∠NMC=90°時，如圖1所示：
∵N是BC的中點，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=3，
根據(jù)題意得：∠PAM=∠PMA=∠QMC=∠QCM=30°，∠MNQ=∠MQN=60°，
∴PM=AP=x，MQ=4-x，MN=$\frac{3}{2}$，MN=MQ，MN=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{3}{2}$，
∴4-x=$\frac{3}{2}$，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴PA=$\frac{5}{2}$；
②當∠MNC=90°時，
延長NM交AD于H；如圖2所示：
在Rt△PMH中，PM=2，HM=$\sqrt{3}$，則PH=1，
∴AP=AH-PH=2；
綜上所述：△CMN為直角三角形，AP的長度為：$\frac{5}{2}$或2；
（3）設PB交AC于E；連結(jié)PC，如圖3所示：
∵AD∥BC，
∴△APE∽△CBE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AP}=\frac{6}{x}$，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{6}{x+6}$，
∴S_△BEC=$\frac{6}{x+6}$•S_△ABC=$\frac{6}{x+6}$×$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=$\frac{36\sqrt{3}}{x+6}$，
∵PM=PA=x，
∴CQ=QM=4-x，
∴S_△PQC=$\frac{1}{2}（4-x）•2\sqrt{3}=\sqrt{3}（4-x）$，
∴S_△CMQ=$\frac{QM}{PQ}$•S_△PQC=$\frac{4-x}{4}$•S_△PQC=$\frac{4-x}{4}$•$\sqrt{3}$（4-x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x）²，
∴S_{四邊形BQME}=S_△BEC-S_△CMQ=$\frac{{36\sqrt{3}}}{x+6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（4-x）^2}$，
當P與A重合時，x=0；
當Q與C重合時，PD=2，
∴AP=4，即x=4，
∴自變量x的取值范圍是：0≤x≤4；
∴S=$\frac{{36\sqrt{3}}}{x+6}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（4-x）^2}$（0≤x≤4）．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線，進行分類討論或證明三角形相似才能得出結(jié)果．