Question

14．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)，且C坐標(biāo)（8，6），點(diǎn)P在AB上，AP=2，E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位的速度向A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)A后立即以原速沿AB向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E再次返回點(diǎn)P停止，點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊向上做正方形EFGH，設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊面積為S．
（1）求直線AC的解析式；
（2）當(dāng)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)H時(shí)，求t的值；
（3）t為何值時(shí)，S最大，最大面積為多少？

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法容易求出直線AC的解析式；
（2）分兩種情況：①當(dāng)0＜t＜2時(shí)；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)；根據(jù)EH=EF列出方程，解方程即可；
（3）根據(jù)題意得出：當(dāng)E再次返回點(diǎn)P時(shí)，正方形EFGH與△ABC重疊面積S最大，此時(shí)t=4，S=△OFK的面積-△OPQ的面積-△KMN的面積，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)直線AC的解析式為y=kx，
把C（8，6）代入得：8k=6，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x；
（2）如圖所示：分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，OE=2-t，HE=$\frac{3}{4}$（2-t），EF=2t，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH=EF，
∴$\frac{3}{4}$（t-2）=2t，
解得：t=$\frac{6}{11}$；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，OE=t-2，PE=2-（t-2）=4-t，EF=4-t+t=4，
∴HE=$\frac{3}{4}$（t-2），
∴$\frac{3}{4}$（t-2）=4，
解得：t=$\frac{22}{3}$（不合題意，舍去）；
綜上所述：當(dāng)當(dāng)AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)H時(shí)，t=$\frac{11}{6}$；
（3）如圖2所示：根據(jù)題意得：當(dāng)E再次返回點(diǎn)P時(shí)，正方形EFGH與△ABC重疊面積S最大，
此時(shí)t=4，PF=4，OF=6，OE=2，
當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{3}{4}$×6=$\frac{9}{2}$，
∴KM=$\frac{9}{2}$-4=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$，PQ=$\frac{3}{2}$，
∴S=△OFK的面積-△OPQ的面積-△KMN的面積
=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{71}{6}$；
即t=4時(shí)，S最大，最大面積是$\frac{71}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中需要通過(guò)分類討論，列出方程求解．