Question

12．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB延長線上一點DE交BC于點F．
（1）如圖（1），若BD=CE，求證：DF=EF；
（2）如圖（2），若BD=$\frac{1}{n}$CE，試寫出DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系
（3）如圖（3），在（2）的條件下，若點E在CA的延長線上，那么（2）中的結(jié)論還成立嗎？試說明．

Answer 1

分析 （1）作EG∥AB交BC于G，就可以得出∠EGC=∠ABC，∠DBF=∠EGF，∠D=∠GEF，就可以得出△DBF≌△EGF，就可以得出結(jié)論；
（2）圖（2）過E作EG∥AB交BC于G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EGC=∠ABC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠C，等量代換得到∠EGC=∠C，根據(jù)等腰三角形的判定得到EG=EC，通過△BDF∽△EFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，由于BD=$\frac{1}{n}$CE，即可得到$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$；
（3）方法同（2）．

解答 證明（1）：如圖（1）作EG∥AB交BC于G，
則∠CGE=∠ABC，∠GEF=∠D，∠DBF=∠EGF．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠EGC，
∴CE=EG，
∵CE=BD，
∴BD=GE．
在△DBF和△EGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GEF}\\{BD=GE}\\{∠DBF=∠EGF}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EGF（ASA），
∴DF=EF；

（2）$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$，
理由：圖（2）過E作EG∥AB交BC于G，
∴∠EGC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EGC=∠C，
∴EG=EC，
∵EG∥AB，
∴△BDF∽△EFG，
∴$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，
∵BD=$\frac{1}{n}$CE，
∴BD=$\frac{1}{n}$EG，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$；

（3）成立，如圖（3），
過E作EG∥AB交BC于G，
∴∠EGC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠EGC=∠C，
∴EG=EC，
∵EG∥AB，
∴△BDF∽△EFG，
∴$\frac{BD}{EG}=\frac{DF}{EF}$，
∵BD=$\frac{1}{n}$CE，
∴BD=$\frac{1}{n}$EG，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{n}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．