Question

16．如圖，點M（4，0），以點M為圓心、2為半徑的圓與x軸交于點A，B．已知拋物線$y=\frac{1}{6}{x^2}+bx+c$過點A和B，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式并求點C的坐標．
（2）點Q（8，m）在拋物線$y=\frac{1}{6}{x^2}+bx+c$上，點P為此拋物線對稱軸上一個動點，求PQ+PB最小值．
（3）CD是過點C的⊙M的切線，點D是切點，且與x軸交于點E，求切點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知點A，B的坐標分別為（2，0），（6，0），代入函數(shù)解析式即可求得拋物線的解析式，即可得點C的坐標；
（2）根據(jù)圖象可得PQ+PB的最小值即是AQ的長，所以拋物線對稱軸l是x=4．所以Q（8，m）拋物線上，則m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此題首先要證得OD∥CM，利用待定系數(shù)法求得CD的解析式，即可求得D點坐標．

解答 解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點A和B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+2b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{6}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
故C（0，2）；

（2）如圖①，拋物線對稱軸l是x=4．
∵Q（8，m）在拋物線上，
∴m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=$\sqrt{A{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2$\sqrt{10}$．

（3）如圖②，連接DM和CM．
由已知，得DM=OC=2．
∵CD是⊙M的切線，
∴∠CDM=90°，
在△COE和△MDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠MDE}\\{∠CEO=∠MED}\\{OC=DM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DOC（AAS）．
∴OE=DE，CE=ME．
設(shè)OE=x，CE=4x，由題意可得：x²+4=（4-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
故E（$\frac{3}{2}$，0），EM=$\frac{5}{2}$，
過點D作DH⊥x軸，設(shè)CD的函數(shù)表達式為：y=kx+2
將E（$\frac{3}{2}$，0）代入得：
$\frac{3}{2}$k+2=0，解得：k=-$\frac{4}{3}$，
故CD的函數(shù)關(guān)系式為；y=-$\frac{4}{3}$x+2，
在△EDM中，AH×EM=ED×DM，
∵ED=$\frac{3}{2}$，DM=2，EM=$\frac{5}{2}$，
∴AD=$\frac{6}{5}$，則D_y=-$\frac{6}{5}$，
當y=-$\frac{6}{5}$時，
-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{6}{5}$，
則-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{6}{5}$，
解得：x=$\frac{12}{5}$，
故D（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）．

點評 此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及圓的綜合知識，要注意待定系數(shù)法求解析式，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．