Question

11．如圖，在正方形ABCD中，BD=BE，CE∥BD，BE交CD于F點，則∠DFE的度數(shù)為（　�。�

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 把△BCE逆時針旋轉90°得到△BAG，連接DG、AC、AG；則∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，先證出C、A、G三點共線，得出∠DAG135°，∠BAG=∠DAG，由SAS證明△BAG≌△DAG，得出BG=DG，證出BG=DG=BE，即△BDG是等邊三角形，得出∠GBD=60°，∠DBE=30°，再由三角形的外角性質求出∠DFE即可．

解答 解：把△BCE逆時針旋轉90°得到△BAG，連接DG、AC、AG；如圖所示：
則∠BAG=∠BCE，BG=BE，∠GBE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BAC=∠DAC=∠BDC=45°，AB=AD，
∵CE∥BD，
∴∠DCE=∠BDC=45°，
∴∠BCE=90°+45°=135°，
∴∠BAG=135°，
∴∠BAG=135°，
∴∠BAG+∠BAC=135°+45°=180°，
∴點C、A、G三點共線，
∴∠DAG=180°-45°=135°，
∴∠BAG=∠DAG，
在△BAG和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠DAG}&{\;}\\{AG=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAG（SAS），
∴BG=DG，
∵BD=BE，
∴BG=DG=BE，
即△BDG是等邊三角形，
∴∠GBD=60°，
∴∠DBE=90°-60°=30°，
∴∠DFE=∠DBE+∠BDC=°+45°=75°．
故選：C．

點評 本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三點共線、等邊三角形的判定與性質、三角形的外角性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．