Question

12．如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P從點A出發(fā)，沿折線AC-CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B山發(fā)，沿BA方向以相同速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點Q到達點A時，P、Q兩點同時停止運動．設△APQ的面積為S（平方單位），點Q運動的時間為t（秒）．
（1）當t=1時，求PQ的長；
（2）當以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時，求t的值；
（3）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖②，當點P在線段AC上運動時，作線段PQ的垂直平分線，直接寫出PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC頂點時t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示，過點Q作QM⊥AC，垂足為M．先由勾股定理求得AB的長，然后由平行線分線段成比例定理求得AM、QM的長，從而求得PM的長，最后在Rt△QPM中，由勾股定理求得PQ長即可；
（2）①當△APQ∽△ACB時，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得t=$\frac{20}{9}$；②當△APQ∽△ABC時．依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得t=$\frac{25}{9}$；
（3）當點P在AC上時，如圖2所示：過點Q作QM⊥AC，垂足為M，先表示出MQ的長，然后由三角形的面積公式可求得函數(shù)的關(guān)系式；當點P在BC上時，如圖3所示，過點P作PN⊥AB，垂足為N．先求得PN的長，最后由三角形的面積公式可求得函數(shù)的關(guān)系式；
（4）圖4、圖5、圖6所示，分為PC=CQ、AP=AQ、BP=BQ三種情況，然后根據(jù)線段相等列方程求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示，過點Q作QM⊥AC，垂足為M．在△PMQ中

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+C{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵t=1，
∴AP=1，QB=1．
∴AQ=4．
∵QM⊥AC，BC⊥AC，
∴QM∥BC．
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AM}{AC}$=$\frac{MQ}{CB}$，即$\frac{4}{5}=\frac{AM}{4}$=$\frac{MQ}{3}$．
∴AM=$\frac{16}{5}$，MQ=$\frac{12}{5}$．
∴PM=$\frac{11}{5}$．
在Rt△QPM中，由勾股定理得：PQ=$\sqrt{P{M}^{2}+Q{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{265}}{5}$．
（2）①當△APQ∽△ACB時．
∵△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$．
∴$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$．
解得：t=$\frac{20}{9}$．
②當△APQ∽△ABC時．
∵△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$．
∴$\frac{t}{5}=\frac{5-t}{4}$．
解得：t=$\frac{25}{9}$．
（3）①當點P在AC上時，如圖2所示：過點Q作QM⊥AC，垂足為M．

∵sin∠QAM=$\frac{3}{5}$，
∴MQ=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3}{5}$（5-t）．
∴△APQ的面積=$\frac{1}{2}AP•MQ$=$\frac{1}{2}t•\frac{3}{5}（5-t）$=$-\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$．
②當點P在BC上時，如圖3所示，過點P作PN⊥AB，垂足為N．

∵sin∠B=$\frac{4}{5}$，
∴PN=PB•sin∠B=$\frac{4}{5}$PB=$\frac{4}{5}$（7-t）．
∴△APQ的面積=$\frac{1}{2}AQ•PN$=$\frac{1}{2}×（5-t）×\frac{4}{5}（7-t）$=$\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{24}{5}t+14$．
∴s與t的函數(shù)關(guān)系式為$S=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{10}{t}^{2}+\frac{3}{2}t（0＜t≤4）}\\{\frac{2}{5}{t}^{2}-\frac{24}{5}t+14（4＜t＜5）}\end{array}\right.$．
（4）①如圖4所示，當PC=CQ時，過點作QN⊥BC，垂足N．

∵sin∠B=$\frac{AC}{CB}=\frac{4}{5}$，cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴QN=$\frac{4}{5}$QB=$\frac{4}{5}t$，NB=$\frac{3}{5}$QB=$\frac{3}{5}t$．
∴CN=3-$\frac{3}{5}t$．
在Rt△CNQ中，CQ=$\sqrt{（\frac{4}{5}t）^{2}+（3-\frac{3}{5}t）^{2}}$．
∵CP=CQ，
∴4-t=$\sqrt{（\frac{4}{5}t）^{2}+（3-\frac{3}{5}t）^{2}}$．
解得：t=$\frac{35}{22}$．

②如圖5所示，當AP=AQ時，
∵AP=t，AQ=AB-BQ=5-t，
∴t=5-t．
解得：t=2.5．
③如圖6所示，當BP=BQ時，連接PB．

在Rt△PBC中，PB=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（4-t）^{2}+{3}^{2}}$．
∵PB=QB，
∴$\sqrt{（4-t）^{2}+{3}^{2}}$=t．
解得：t=$\frac{25}{8}$．
綜上所述，當t=$\frac{35}{22}$或t=2.5或t=$\frac{25}{8}$時，線段PQ的垂直平分線經(jīng)過△ABC的頂點．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應用、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積公式，解答本題主要應用了分類討論的數(shù)學思想，根據(jù)題意畫出符合題意得圖形是解題的關(guān)鍵．