Question

7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，△BDE邊DE上的中線(xiàn)BF延長(zhǎng)線(xiàn)交AC于點(diǎn)G．
（1）證明：△ACD∽△DBE；
（2）證明：G為AC中點(diǎn)；
（3）求證：AD•BD=CE•CB；
（4）若AG=FG，求BF：GF；
（5）在（4）的條件下，若BC=6$\sqrt{2}$，求BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠A=∠BDE，再由∠ADC=∠DEB即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)DE∥AC可知△BDF∽△BAG△BEF∽△BCG，故$\frac{DF}{AG}$=$\frac{BD}{AB}$，$\frac{EF}{CG}$=$\frac{BD}{AB}$，根據(jù)DF=EF即可得出結(jié)論；
（3）直接根據(jù)射影定理即可得出結(jié)論；
（4）過(guò)G作GP⊥DF交DF于P，連結(jié)DG可得出，四邊形CEPG是長(zhǎng)方形，在Rt△ADC中根據(jù)G是邊AC中點(diǎn)可得出AG=DG=CG．再由AG=FG得出△GFD是等腰三角形．由相似三角形的判定定理得出△PFG∽△EFB∽△CGB，故CG：BG=EF：BF=PF：GF=1：3，F(xiàn)G：BG=1：3，BF：GF=2：1，由此可得出結(jié)論；
（5））根據(jù)BC=6$\sqrt{2}$，CE：BE=GF：BF=1：2可得出CE，BE的長(zhǎng)，再設(shè)EF=x，則BF=3x，由勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠C=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠A=∠BDE．
∵∠ADC=∠DEB=90°，
∴△ACD∽△DBE；

（2）證明：∵DE∥AC，
∴△BDF∽△BAG△BEF∽△BCG
∴$\frac{DF}{AG}$=$\frac{BD}{AB}$，$\frac{EF}{CG}$=$\frac{BD}{AB}$．
∵DF=EF，
∴AG=CG；

（3）證明：∵CD⊥AB，
∴△BCD是直角三角形．
∵DE⊥BC，
∴CD²=CE•CB．
∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴CD²=AD•BD，
∴AD•BD=CE•CB；

（4）解：過(guò)G作GP⊥DF交DF于P，連結(jié)DG，
∵AC⊥BC，DE⊥BC，GF⊥DE，
∴四邊形CEPG是長(zhǎng)方形，
∴CG=EP
在Rt△ADC中，
∵G是邊AC中點(diǎn)，
∴AG=DG=CG．
又∵AG=FG，
∴DG=FG
∴△GFD是等腰三角形．
∴GP是FD的中線(xiàn)，DP=FP 即FP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$EF．
∵CG=EP，F(xiàn)P=$\frac{1}{2}$EF，
∴PF：CG=1：3，
∴PF：FG=1：3．
∵△PFG∽△EFB∽△CGB，
∴CG：BG=EF：BF=PF：GF=1：3，
∴FG：BG=1：3，BF：GF=2：1；

（5）解：∵BC=6$\sqrt{2}$，CE：BE=GF：BF=1：2，
∴CE=2$\sqrt{2}$，BE=4$\sqrt{2}$．
∵EF：BF=1：3，
設(shè)EF=x，則BF=3x，
∴x²+（4$\sqrt{2}$）²=9x²，解得x=2，
∴BF=6，GF=3，AC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{（6\sqrt{2}）}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴BD=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度較大．