Question

3．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2，2），點B的坐標為（6，6），拋物線經過A、O、B三點，連結OA、OB、AB，線段AB交y軸于點E．
（1）求點E的坐標；
（2）求拋物線的函數解析式；
（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸右側），連結ON、BN，當點F在線段OB上運動時，求△BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出直線AB的解析式，從而根據點E的橫坐標為0，可得其縱坐標；
（2）根據拋物線過原點，可設拋物線為y=mx²+nx，代入A、B的坐標，即可確定拋物線解析式；
（3）只需確定邊OB上高的最大值即可，設過點N且與直線OB平行的直線解析式為y=x+c，當且僅當直線y=x+c與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x相切時△BON的面積最大，確定取得最大時點N的坐標，再由S_△BON=S_△OCB-S_△ODN-S_梯形NDCB，即可得出答案．

解答 解：（1）設點A、B所在的直線解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=2}\\{6k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
令x=0，得y=3，
故E（0，3）．

（2）∵所求拋物線過原點，
∴設所求拋物線為y=mx²+nx，
將點A、B的坐標代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{4m-2n=2}\\{36m+6n=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x．
（3）不難求出直線OB的解析式為y=x，
要使△BON的面積最大，只需OB邊上的高最大即可，
設過點N且與直線OB平行的直線解析式為y=x+c，
當且僅當直線y=x+c與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x相切時△BON的面積最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，消去y并整理得x²-6x-4c=0，
當△（-6）²-4×1×（-4c）=0時，方程x²-6x-4c=0的解為x=3，
將x=3代入y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，得y=$\frac{3}{4}$，
∴N（3，$\frac{3}{4}$），
過點B、N分別作BC⊥x軸于點C，ND⊥x軸于點D，
S_△BON=S_△OCB-S_△ODN-S_梯形NDCB=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{4}$+6）×3=$\frac{27}{4}$．

點評 本題考查了二次函數的綜合，涉及的知識點較多，難點在第三問，聯立拋物線與直線解析式確定點N的坐標是關鍵，注意數形結合思想的運用．