Question

19．已知，如圖1，點(diǎn)A是半徑為r的⊙O上的點(diǎn)，P是OA延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作⊙O的切線，切點(diǎn)為B，設(shè)PA=m，PB=n
（1）若m=2，n=4時(shí)，求r的值；
（2）若r=2，⊙O上是否存在點(diǎn)C，使得△PBC為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？
（3）若m=2，⊙O上存在唯一點(diǎn)M與PB構(gòu)成以PB為底的等腰三角形，求n的值．（圖2、圖3供解題時(shí)使用）

Answer 1

分析 （1）連接OB，由切線的性質(zhì)可知：OB⊥BP，然后在Rt△OBP中，利用勾股定理求得r的值即可；
（2）若△PBC是等邊三角形，則必有PB=PC，由于PB是⊙O的切線，且C在⊙O上，那么若存在符合條件的C點(diǎn)，則PC必與⊙O相切，且切點(diǎn)為C（切線長(zhǎng)定理）．若△PBC是等邊三角形，則∠BPC=60°，∠BPO=30°，可連接OB，在Rt△OBP中，通過解直角三角形即可求得AP的長(zhǎng)即m的值；
（3）若存在等腰△PBM，且以PB為底，那么M點(diǎn)必在線段PB的垂直平分線上，而⊙O上存在唯一點(diǎn)M，那么線段PB的中垂線與⊙O相切，且切點(diǎn)為M．連接OM，易證得四邊形OBDM是正方形，則BP=2r，OB=r，OP=r+2，在Rt△OBP中，利用勾股定理即可求得r的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到PB的長(zhǎng)，從而可求得n的值．

解答 解：（1）如圖1所示，連接OB．

∵BP是圓的切線，
∴OB⊥PB．
設(shè)圓的半徑為r，在Rt△OPB中，由勾股定理可知：OB²+BP²=OP²，即r²+4²=（r+2）²．
解得：r=3．
（2）存在點(diǎn)C，使△PBC為等邊三角形；
如圖2，當(dāng)∠OPB=30°時(shí)，過點(diǎn)P作⊙O的另一條切線PC，C為切點(diǎn)，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，
∴△PBC為等邊三角形；
連接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．
（3）如圖3，設(shè)EF為線段PB的垂直平分線，垂足為D，當(dāng)EF與⊙O相切于點(diǎn)M時(shí)，M符合要求，連接OB、OM．

∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四邊形OMDB為正方形，
∴PD=BD=r．
∴BP=2r．
在Rt△OPB中，由勾股定理得：OB²+BP²=OP²，即：r²+（2r）²=（r+2）²．
解得：r₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，r₂=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去）．
∴n=2r=$\sqrt{5}+1$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理、等腰三角形和等邊三角形的判定、切線的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，證得四邊形OBDM為正方形是解題的關(guān)鍵．