Question

2．在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，把△ABE沿直線AE折疊，B點落在點B′處，B′B與AE交于點F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′=AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠CB′D=135°；④BB′=BC；⑤AB²=AE•AF．其中正確的個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，可知△ABF與△AB′F關(guān)于AE對稱，即得AB′=AD；
②連接EB′，根據(jù)E為BC的中點和線段垂直平分線的性質(zhì)，求出∠BB′C為直角三角形；
③假設(shè)∠ADB′=75°成立，則可計算出∠AB′B=60°，推知△ABB′為等邊三角形，B′B=AB=BC，與B′B＜BC矛盾；
④根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
⑤根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：①∵點B′與點B關(guān)于AE對稱，
∴△ABF與△AB′F關(guān)于AE對稱，
∴AB=AB′，
∵AB=AD，
∴AB′=AD．故①正確；

②如圖，連接EB′．
則BE=B′E=EC，
∠FBE=∠FB′E，
∠EB′C=∠ECB′．
則∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°，
即△BB′C為直角三角形．
∵FE為△BCB′的中位線，
∴B′C=2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，
∴$\frac{FE}{FB′}$=$\frac{EB′}{AB′}$，
即$\frac{FE}{FB′}$=$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故FB′=2FE．
∴B′C=FB′．
∴△FCB′為等腰直角三角形．
故②正確．

③設(shè)∠ABB′=∠AB′B=x度，
∠AB′D=∠ADB′=y度，
則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90°=360°，
即x+y=135度．
又∵∠FB′C=90°，
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°．
故③正確．

④∵∠BB′C=90°，
∴BB′＜BC，
故④錯誤；
⑤∵∠ABE=90°，BF⊥AE，
∴∠ABE=∠AFB=90°，
∵∠BAF=∠BAF，
∴△ABF∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴AB²=AE•AF；
故⑤正確，
故選：C．

點評 此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．