Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB的解析式為y=-2x+12，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．
（1）如圖，求直線OC的解析式；
（2）點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)△EDC的面積為S，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好為2秒時(shí)，點(diǎn)P為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，在平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O，A，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先由直線AB的解析式為y=-2x+12，求出A（6，0），B（0，12），再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6）．然后利用待定系數(shù)法即可求出直線OC的解析式；
（2）先求出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所需時(shí)間為：3$\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=3秒，設(shè)ED⊥x軸于點(diǎn)M．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出OC=AC，那么∠DOM=∠OAB．解直角△DOM，求出OM=OD•cos∠DOM=t，DM=OD•sin∠DOM=2t，即D（t，2t），E（t，-2t+12）．再分兩種情況進(jìn)行討論：①0＜t＜3；②t＞3．根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，OD=2$\sqrt{5}$，D（2，4）．利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=-x+6．再分兩種情況進(jìn)行討論：①OA為正方形的邊，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出Q₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6）；②OA為正方形的對(duì)角線，易求Q₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-3）．

解答 解：（1）∵直線AB的解析式為y=-2x+12，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-2x+12=0，解得x=6，即A（6，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=12，即B（0，12），
∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，6）．
設(shè)直線OC的解析式為y=kx，
則3k=6，解得k=2，
故直線OC的解析式為y=2x；

（2）∵OC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒$\sqrt{5}$個(gè)單位，
∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C所需時(shí)間為：3$\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=3（秒）．
設(shè)ED⊥x軸于點(diǎn)M．
∵OC為直角△ABC斜邊AB的中線，
∴OC=AC，
∴∠DOM=∠OAB．
∵在直角△DOM中，OD=$\sqrt{5}$t，
∴OM=OD•cos∠DOM=OD•cos∠OAB=$\sqrt{5}$t•$\frac{6}{6\sqrt{5}}$=t，
DM=OD•sin∠DOM=OD•sin∠OAB=$\sqrt{5}$t•$\frac{12}{6\sqrt{5}}$=2t，
∴D（t，2t），
∴E（t，-2t+12）．
如圖，分兩種情況：
①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，D在線段OC上，
∵DE=-2t+12-2t=-4t+12，C到DE的距離為：3-t，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（-4t+12）（3-t）=2t²-12t+18，
即S=2t²-12t+18；
②當(dāng)t＞3時(shí)，D線段OC的延長(zhǎng)線上，
∵DE=2t-（-2t+12）=4t-12，C到DE的距離為：t-3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4t-12）（t-3）=2t²-12t+18，
即S=2t²-12t+18；
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=2t²-12t+18（t＞0且t≠3）；

（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，OD=2$\sqrt{5}$，D（2，4）．
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
∵A（6，0），D（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=0}\\{2m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=-x+6，
∴直線AD與y軸交點(diǎn)為（0，6）．
以點(diǎn)O，A，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，分兩種情況：
①如果OA為正方形的邊，如圖，作正方形OP₁Q₁A，則P₁為直線AD與y軸交點(diǎn)，
∵OA=OP₁=6，∠OAQ₁=90°，
∴Q₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6）；
②如果OA為正方形的對(duì)角線，設(shè)OA中點(diǎn)為N，則N（3，0），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-3+6=3．
作OA的垂直平分線l，交直線AD于點(diǎn)P₂，
則P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），在l上截取NQ₂=NP₂，
則四邊形OP₂AQ₂是正方形，此時(shí)Q₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-3）．
綜上所述，所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q₁（6，6），Q₂（3，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求直線的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三角形的面積，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．